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本書從第○章開始，先討論在有數字之前的世界是怎麼回事，數字又是如何出現的。緊接著第一章開始，「數」已經是人類生活不可分割的一部分，可以開始著手做正事了。從數字的計算方式、各種計算器、動物的數學觀念、○的概念、圓周率、X和Y的代數世界、機率，到生命靈數、摺紙的科學、數字魔術、數獨、黃金比例的祕密……，作者以最有趣生動的方式來探討我們生活周邊的各種數字和數學的呈現。 名人推薦 ＊推薦 / 洪萬生（臺灣師範大學數學系退休教授） ＊導讀 / 胡守仁（淡江大學數學系教授） 目錄 導讀 歡迎光臨數字樂園 序言 第○章 數字之始 數字從何而來？在尚未發展出數字的語言與符號以前，人類是如何計數？亞馬遜叢林裡的孟杜魯庫人無法數數超過5以上；然而日本卻有一隻黑猩猩能理解「序數」的概念。人類與生俱來對於數字的直觀與現今精確的數學概念有何差別？ 第一章 計數文化 從1到10，緊接著11、12、13……，看似理所當然，但並非絕對，其實世界上有許多文化是以非「10」為基底來計數。而日本與中國的算盤文化，也與基底有關。刻板印象中，中國人與日本人的數學很強，其實原因出在發音簡單的九九乘法表，以及有規則的數字文字。 第二章 看吧！ 生命靈數看似迷信，然而數學史上最有名的畢氏定理發明人畢達格拉斯，也有一套反映自然的數學命理。另一位名人，歐幾里得開啟了有趣的幾何世界，而伊斯蘭世界則運用幾何藝術來崇敬宇宙真理。至於摺紙藝術的發展，已從休閒活動進而影響數學研究。 第三章 關於空無一物 印度聖者商羯羅大阿闍蔾，是宗教上的領袖，也是印度吠陀數學大使。吠陀數學是印度的科學，也代表了印度教的宇宙觀，例如「空」即是「零」的概念。他的方法不僅讓學童快速地學習數學，也讓全世界最頂尖的理工學者嘖嘖稱奇。 第四章 □的故事 速算天才被當成神奇的表演者，人腦計算機，他們的目標就是超越一個又一個的紀錄。而圓周率□，一個不循環不斷展開的無理數，更是獵□者窮盡心力追求的終極目標。不論是速算者或是獵□者，都在追求數字無窮無盡的境界。 第五章 X因子 代數的發明，幫助人們進一步解開困難的數學計算，而每個文化的代數運算符號都不相同，也各有其歷史。運算符號的改進也促成新概念的誕生，自從蘇格蘭數學家納皮爾發明對數之後，複雜的乘法變簡單了，還出現了對數計算尺，但現在已是珍貴的古董收藏。 第六章 遊戲時間 數字作為娛樂的歷史和數學一樣古老，像是中國古代的七角板還有幻方，幻方不僅是風水的的法則，也是最早期的數字拼圖遊戲。數讀更掀起全球熱潮，它讓鉛筆的銷售量增加了700%；還有歷久不衰的魔術方塊。且看看數字遊戲狂熱的一面。 第七章 數列的祕密 以一定方式排列的數，稱為數列。美國亞特蘭大的史隆是數列收藏達人，從最簡單的數列到惡魔數列還有音樂數列，都是他的收藏品，一一編號，並且架設網路整數數列大全，讓全球的數列收藏家共襄盛舉。 第八章 金手指 黃金比例，1:1.618，又稱為神聖比例，或是費波那契數列。仔細觀察大自然，花瓣的數目、樹葉的分布、動物的螺紋，都依從了黃金比例。而這個比例也是人類藝術的依據，舉凡建築、iPhone，都看得到她的身影，她是數字界的維納斯。 第九章 機遇好極了 賭博是機率的化身，如何破解吃角子老虎、輪盤、二十一點背後的機率，一直是賭徒們鑽研的數學課題，賭徒的智慧甚至啟發了財經保險市場各類金融商品的運作模型。但數學家指出，樂透彩是最差勁的賭注。 第十章 一切歸於正常 測量物品、計算數字，就是對事物進行統計。最著名的統計分布，就是高斯曲線，也就是鐘形曲線，但有時看似尋常的統計結果卻能改變歷史，端看人類如何解讀。 第十一章 盡頭到了 三角形的尖端有多尖？宇宙有多大？有沒有一個旅館能夠容納無限多的房客？無限延伸的雙曲面是什麼樣子？關於無限，一直困擾著數學家們。而康托引進了新的符號「□」來代表無限，開啟了無限的數字樂園。 序 導讀 歡迎光臨數字樂園 胡守仁（淡江大學數學系教授） 歡迎光臨數字樂園！雖然這是個古老的樂園，漫步其間依然是讚歎不絕，驚奇連連。 讓我們先走馬看花，逛逛這個樂園。數字樂園中最古老的把戲就是數數。數字在我們的生活中再平常不過了，幾乎自有記憶以來這些阿拉伯數字就如影隨行，然而從扳著手指數數，到確認這些能夠隨心所欲操弄的符號，可是個精采的故事。光是進位基底的數目，就經歷不少的嘗試與改變，直到今日，依然可見二進位、五進位、十二進位、二十進位、六十進位的痕跡。零的出現不僅讓數的表達與計算方便，更代表了人類對於數的概念更高層次的抽象化，引領數學「發明」了許多概念，例如負數、小數。 數完數之後，就要做算術了。阿拉伯數字來自印度，他們聲稱在吠陀經中找到算術方法，比起現在學校教的更為有效而快速，有些方法還真叫人拍案稱奇。在沒有計算機之前，算得快，算得準可是個了不起的本事。有段時間速算者是表演舞台的焦點，有些甚至受聘為歐洲核子研究中心的人肉計算機。人們也曾設計不少精巧的機械來做四則運算，而真正讓我們有效的計算複雜的乘法及除法，則是靠了對數的發明。然而能徒手計算出1到1,005,000的對數，精確到小數第七位，仍然讓人覺得不可思議。更別說計算□到小數兩百位。□是數中的名流，它是永不循環的無理數，它的小數展開完全沒有什麼規律可循。記憶□的小數展開更是表演的好對象，一面記住□的小數展開一面玩雜耍還是一項比賽呢！就算今天，還有人不斷地計算更多位數的□，這可有個高尚的理由：測試電腦的處理容量，改進它的計算表現。 除了找尋越來越小的□的小數位值，人們也找尋越來越大的質數。網路上的《網路梅森質數大搜尋》（The Great Internet Mersenne Prime Search）可說是最早的「分散式計算」計畫之一，目前連結了75,000部電腦，在這些電腦閒置時，使用它們的處理器來搜尋質數。搜尋質數又是為哪樁？這也有個高尚的理由：我們常用的密碼系統立足於整數相乘容易、分解困難的事實。我們需要大質數來確保安全。 縱使數學不是人人所愛，人們仍不免為一些益智謎題所吸引。從希臘神話中獅身人面怪獸提出的謎語到偵探小說，每當遇到一個謎題，我們的本能促使我們去解決它，直到達到目標。十九世紀初人們瘋迷七巧板，十九世紀末數字推盤也帶來了狂熱。幾年前，我們沉迷於數獨。魔術方塊的挑戰更是直到今日仍然熱絡，有單手的，有用腳轉動的，還有蒙眼的等等。然而最少到底需要多少步才能解決任意的魔術方塊呢？數獨方格中要先給出多少數字才有唯一的解？謎題不僅以神奇而簡潔的方式傳遞數學令人稱奇的內容，也常提出了許多深奧的數學問題。以好玩開始的問題，也能引起深度的探索。二十世紀初謎題專家杜德奈把三角形切成四片，重組為正方形，現在麻省理工的教授德緬推廣為分割一個多邊形，重新排列、相連而組成另外一個多邊形，如此一來，變形金剛豈不得以成真。 機率與統計的園地，更是驚奇連連。知道嗎？過去十屆世界盃足球決賽中有七屆至少有兩個球員的生日在同一天，巧合是吧！雖然說德國的樂透彩每一種數字組合中獎的機率是一千四百萬分之一，然而一九九五年和一九八六年有同一組數字中獎，詭異的巧合還是弊端？其實這個機率超過四分之一，嚇一跳吧。人的腦袋其實並不擅於了解隨機，機率的領域中充斥許許多多悖論和驚奇。我們直覺認為模式出現必有其因，很難相信這會是隨機的結果。當蘋果電腦推出iPod的隨機播放功能時，常有播完一首後，又重播同一歌手歌曲的現象，因而引起抱怨連連。想一想，既是隨機播放，每一首新播的歌都和先前播過的歌無關，出現一連串同一歌手的歌曲應該一點也不出奇。猜猜看，賈伯斯對這項抗議有什麼反應。 去到拉斯維加斯，總免不了試試手氣，我們是否真有機會打敗賭場？范恩的「隨機漫步」告訴我們賭徒破產是必然的結局。不過，一九六二年數學家索普（Ed Thorp）出版了《擊敗莊家》（Beat the Dealer）一書，發表了關於二十一點的算牌術，這本書不僅是賭博的經典書籍，更在經濟與金融界產生迴響，進而創造出財經市場的模型，並且將下注的策略應用其中。布萊克與休斯二人更創造出公式，指出如何訂定金融衍生產品的價格，這是華爾街最著名的公式。十六世紀時當卡丹諾（Girolamo Cardano）寫下《機遇遊戲之書》（The Book of Games of Chances）時，恐怕很難想像到這幅光景吧！ 十九世紀統計學在機率論的基礎上發展起來。數學家龐卡瑞就由他購買麵包的重量，逮到麵包店偷斤減兩的證據。這正是現代消費者保護的理論基礎。商業標準部門為什麼能夠隨機抽取販售的商品樣本，就能判斷廣告是否不實？巨量的數據又如何檢驗是否偽造？ 幾何園地幾乎和數字園地一般古老。歐幾里得以五個公理描述了這個美好而平坦的世界。龐卡瑞以圓盤為模型展示了一個奇特的世界，在我們的眼中，越靠近圓周，物體越變越小。然而其間的生物對此一無所知，依然生生不息。聽起來像是科幻小說中的空間，其實只需要更動歐幾里得的第五公理，讓過線外一點，有無窮多條直線通過該點並與此直線平行，得到的空間就和我們快樂生活的空間一樣真實，而上述的圓盤就是這個雙曲空間的模型，它像是經過了一個奇特鏡頭的扭曲。於是我們要問：到底如何將空間分類？而真實世界的雙曲面又是什麼樣子呢？電腦無法呈現它，因為希爾伯特證明了雙曲面無法由一個公式表示。然而，康乃爾大學的副教授泰米爾卻以鉤針織出了雙曲面，能在上面畫出可以摺成褲子一樣的正八邊形，也能顯示極限圓的樣子。古老的樂園還真充滿驚奇。 比較東西的多寡是進入數字樂園最早碰到的一個把戲。我們的概念中，一部分的東西當然要比全體的少。然而，當我們踏入有著無限多間房間的希爾伯特大飯店，明明客滿的飯店，多來了一個客人，能給他找出一間空房，多來兩個沒問題，就算來了一個、兩個、三個……無窮多的客人，也沒什麼好怕的，即使來了一輛、兩輛、三輛……無窮多輛遊覽車，每輛上有一位、兩位、三位……無窮多位客人，全部入住也不成問題。全部真的比部分多？比大小到底是怎麼一回事？似乎還有我們想不到的花樣。當我們踏入十九世紀康托建立的樂園，驚奇地發現我們可以無窮地比較無窮，無窮不只是數也數不完，它還有等級之分。整數、有理數是一樣多的無窮，實數卻是比他們還多的無窮。豈能不瞠目結舌！ 多麼奇特的數字樂園，再一次，歡迎光臨！ 序言 孩童時代，我喜歡數學，也愛好寫作。青少年時期，仍然保持對這兩方面的熱愛，希望大學時可以專攻數學與哲學，一方面立足科學，另一方面也涉獵人文，那就完美極了。不過大學時，我把大部分時間都投身在學生報刊上，還曾在英國全國性的報刊上發表過文章，包括在《衛報》（Guardian）上的一篇文章，談論數學有多棒，這是我第一次寫與數學相關的文章，也是過去二十年僅有的一篇。 畢業後，我做了記者，我似乎放棄了數字的世界以擁抱文字的世界。我先在英國布萊頓（Brighton）的一份晚報工作，之後轉到幾份倫敦的報紙，最後成了派駐里約熱內盧的外國記者。偶爾，我受過訓練的數學頭腦發揮了作用，例如，找出美國哪一州的面積最接近亞馬遜剛被採伐殆盡的雨林帶面積，或是在各式各樣的金融危機中做匯率的轉換。不過，基本上我已把數學拋諸腦後了。 幾年前，我返回英國家鄉，不太確定下一步要做什麼。有段時間，我販賣巴西足球員的運動衫；我寫過部落格，想過進口熱帶水果，不過都不成功。在這段重新思考的過程中，我決定回頭看看年輕時耗費許多精力的課題，就因如此，我找到了靈感的火花，引領我寫下了現在這本書。 成年後再踏入數學世界，我的經驗與孩童時期截然不同。當時由於應付考試，往往忽略了真正引人入勝的事物，而現在我得以自由自在地涉獵看起來新奇有趣的事物。我學到了「民族數學」，研究不同文化如何看待數學，還有宗教如何塑造數學。近來行為心理學與神經科學的研究，拼合出頭腦如何思考數字的成果，令我著迷。 我覺得我就像一個身負重任的駐外特派記者，只不過這次，我的駐在地是抽象的數學世界。 由於我想要體驗數學的實際運用，我的旅程很快就變得全球性了。我飛往印度去學習這個國家如何發明了零，這可是歷史上人類心智最偉大的突破；我住進雷諾一間豪華賭場，親眼觀察機率如何成為博弈的基礎；在日本，我遇到了全世界最會計算的猩猩。 我的研究不斷進展，我發現我處於既是專家又是業餘者的微妙地位。再度學習學校教過的數學就像重新認識老朋友，此外還遇上許多老朋友的相識，而我從前並不認識他們，以及許多新出現的人物。例如，在我寫這本書之前，我並不知道好幾百年來，人們試圖在十進位的數系中引進兩個新的數，我也不知道摺紙術是很嚴肅的科學方法，對於數獨背後的理論我更是一無所知（因為那時候還沒有這玩意兒）。我踏上了許多意想不到的地方，如德國的萊比錫，亞歷桑納的斯考特戴爾；還有圖書館中未曾想過會探訪的書架。我花了難忘的一日閱讀與植物相關的儀式，去了解為什麼畢達哥拉斯（Pythagoras）吃東西極端挑剔。 本書由第○章開始，因為我想在這章討論在有數學之前的內容，是關於「數」是如何出現的。而第一章開始時，「數」已經是人類生活不可分割的一部分，可以開始著手做正事了。我盡量減少技術性的內容，但是並不想迴避所有的數學式子與證明。我希望讀者們有機會經驗一些數學的藝術成果，體會它們的優美。不過如果你不想管什麼數學式子或證明，本書的寫法也能夠讓你直接跳到下一節。各章的閱讀次序可以隨你所好，因為每一章的內容都各自獨立，不用讀過前面的章節也能了解。不過我還是希望讀者能從頭開始按順序閱讀，因為本書大致上是根據數學發現的歷史來編排，偶爾我也會用到前面所談過的材料。 我加入了相當份量的歷史資料，因為數學就是數學發展的歷史。人文科學永遠都因為新想法或新潮流取代了舊思維，而處於一再重複發現的狀態，應用科學的理論則總是經歷不斷的修正。但數學和它們不一樣，數學永遠不老化。畢氏定理或歐幾里得（Euclid）定理的成立，現今一如往昔，這也就是為什麼畢達哥拉斯和歐幾里得是我們在學校學到的最古老的名字。到了十六歲，學生所學到的數學不超過十七世紀中葉人們所懂的數學，到了十八歲，學到的也不過是十八世紀中葉的數學，而我在大學裡學到最現代的數學，則是來自一九二○年。 寫這本書時，我無時無刻不希望能傳達數學發現的興奮與奧妙，希望讓各位知道數學家是有趣的人，他們是邏輯之王，因此極度排斥不合邏輯的感覺。數學流傳在外的名聲是它既枯燥又困難，實情通常也是如此，可是數學也深具啟發性，是可以理解的，更重要的是它極具原創力。抽象數學的想法是人類最偉大的成就之一，它算得上是人類進步的基石。 數學，是個令人驚歎的世界，我建議各位不妨一遊。 艾利克斯．貝洛斯 二○一○年一月 [作者簡介] 作者簡介 艾利克斯．貝洛斯 Alex Bellos 英國人，擁有牛津大學數學及哲學雙學位，曾任英國《衛報》（The Guardian）記者，並於一九八八年派駐巴西里約數年。二○○三年返回英國後，撰寫了一本有關巴西足球的書（Futebol, the Brazilian Way of Life）；也為巴西足球球星比利寫過代筆自傳（Pele, the Autobiography），並成為暢銷書；之後艾利克斯還想和數學再續前緣，於是有了這本作品。他目前定居於倫敦，持續研究有趣的數學問題。 譯者簡介 胡守仁 芝加哥大學數學博士，現任淡江大學數學系教授。譯有《毛起來說三角》、《希爾伯特的23個數學問題》、《連結》、《最ㄅㄧㄤˋ的數學公式》、《妙不可言的數學證明》、《數學家是怎麼思考的》、《醉漢走路》、《打開魔術箱》、《拼圖拼字拼數學》等。 ---------------------------------------------------------------------------------------------------- 分享閱讀 書籍狀態請詳看圖示 如對商品有疑問請使用「聯絡店家」發問，發問時請告知完整商品名稱 ■客服電話服務時間: 敝店客服電話 (02) 85316044 服務時間為週一至週五 09:00-12:00 及 13:00-17:00，例假日與國定假日公休 其餘時間請使用 聯絡店家 功能聯繫 。 由於敝店為多平臺同步販售，來電請務必告知為樂天買家以節省您的寶貴時間，謝謝您。 ■其他注意事項: 建議可多利用7-11取貨付款，可在自己方便的時間領貨。